题目

二次函数及应用
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>x的解集为(1,2)
(1)若方程f(x)=x^2有两个相等的实根,求f(x)的解析式
(2)若f(x)的最大值大于1,求a的取值范围.

提问时间：2020-08-15

答案

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>x,f(x)-x>0解集为(1,2) ,可知a<0且方程f(x)-x=0解为1和2,即-(b-1)/a=3,c/a=2 ,b=1-3a,c=2a
第一问,二次方程f(x)=x^2 德尔塔为0,b^2-4(a-1)c=0,与上式联立解得a=-1,b=4,c=2
第二问,f(x)对称轴x=-b/(2a)=(3a-1)/(2a),即f(x)最大值为f((3a-1)/(2a))=-(3a-1)^2/(4a)+2a>1（a<0）解得a<0