题目

已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

提问时间：2020-08-12

答案

（I）当a=1时，f（x）=x-lnx，
则 f/(x)＝1−

1

x

＝

x−1

x

（1分）
f/(x)＝1−

1

x

＝

x−1

x

≥0且x∈（0，e]得x∈[1，e）单调递增；（3分）
f/(x)＝1−

1

x

＝

x−1

x

＜0且x∈（0，e]得x∈（0，1）单调递减；（5分）
当x=1时取到极小值1；（6分）
（II） f/(x)＝

ax−1

x

（7分）
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（9分）
②当a＞0时，f′（x）=0的根为

1

a

当 0＜

1

a

＜e时，f(x)在x∈(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e)上单调递增f(x)min＝f(

1

a

)＝1−ln

1

a

＝3，解得a=e²（12分）
③当

1

a

≥e时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（14分）
综上所述a=e²（15分）