题目

已知函数f（x）=（ax²-2x+1）•e^-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

提问时间：2020-08-11

答案

（ I）当a=1时，f（x）=（x2-2x+1）•e-x，f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x…（2分）当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞...

（I）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．（II）令导函数f′（x）=-（x-1）（x-3）•e-x≤0在x∈[-1，1]时恒成立即可求出a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．