题目

【急】求解高一不等式题一道!
阅读以下的证明过程： 因为 x^2 + y^2 ≥ (x+y)^2 - (x^2+y^2)
所以 2(x^2+y^2) ≥ (x+y)^2 当x+y=1时,有 x^2+y^2≥ 0.5
（1）当x+y+z=1时,按照上述方法,请推导一个关于x^2+y^2+z^2成立的不等式
（2）当x1+x2+x3+……+xn=1时,你又能按上述方法推广得到一个怎样的成立的不等式（第二问不用证明）
第一问要有过程.急求!

提问时间：2020-08-11

答案

(1)因为x+y+z=1,所以(x+y+z)²=1
所以x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=1
所以x²+y²+z²=1-(2xy+2yz+2zx)………①
根据基本不等式,得2ab≤a²+b²+c²
所以2xy+2yz+2zx≤2(x²+y²+z²)
所以由①得：x²+y²+z²≥1-2(x²+y²+z²),
所以3(x²+y²+z²)≥1,
所以x²+y²+z²≥1/3,
x²+y²+z²取最小值1/3,此时,x=y=z=1/3
(2)当x1+x2+x3+……+xn=1时,推广得到的不等式：x1²+x2²+x3²+……+xn²≥1/n,
【然而当n无限大时,x1²+x2²+x3²+……+xn²≥0】