题目

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2），AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若S_△APO=

3

2

，求矩形ABCD的面积．

提问时间：2020-08-11

答案

（1）由题意得，B点坐标为（4，2）
将点A（0，2），B（4，2）代入二次函数解析式得：

2＝c 2＝42+4b+c

解得：

b＝−4 c＝2

∴抛物线的解析式为y=x²-4x+2
（2）由S_△APO=

3

2

可得：

1

2

OA•|xp|=

3

2

，即

1

2

×2×|x_p|=

3

2

∴x_p=

3

2

（负舍）
将x_p=

3

2

代入抛物线解析式得：y_P=-

7

4

过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为E
∵△DEP∽△DAB
∴

3 2

4

＝

AD−2− 7 4

AD

解得：AD=6
∴S_矩形ABCD=24．

（1）已知了A点坐标和AB的长，即可得出B点坐标，然后将A、B两点的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据三角形APO的面积可求出P点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得P点的坐标．过P作PE⊥OA于E，通过构建的相似三角形DPE和DBA，可求出AD的长，有了长和宽即可求出矩形的面积．（也可通过求直线BP的解析式得出D点坐标来求出AD的长）

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识点．