题目

设函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax,g(x)=2x+b,当x=1+根号2时,f(x)取极值,
（1）求a的值,并判断f(1+√2)是函数f(x)的极大值还是极小值
（2）当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点,求b的取值范围

提问时间：2020-08-10

答案

(1)
f'(x)=x²-2x+a,
在x=1+√2取极值,则
f'(1+√2)=1+a=0,
所以a=-1,
在此点附近的邻域里,x0,所以此点是极小值点.
(2)
f(x)=g(x),
(1/3)x³-x²-3x-b=0,
令h(x)=(1/3)x³-x²-3x-b,
则h'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1),
在x=-1处是极大值,在x=3处是极小值,
所以如果想要满足题意,可以分3类讨论：
第一类：
h(3)0,
此时,无解；
第二类：
h(3)=0,h(-1)>0,h(-3)0,
解得-9