题目

已知函数y=2sin2x+csc2x+tanx+cotx,x属于(0,90°),求y得最小值,有如下解法
2sin2x+csc2x=2sin2x+1/sin2x>=2根号2,tanx+1/tanx>=2,两式相加得y>=2根号2+2,所以ymin=2根号2+2
1.试判断上述解法是否正确
2.如果你认为上述解法正确,请写出y取得最小值时的自变量x的取值；如果你认为上述解法不正确,请说明理由,并求出函数y的最小值

提问时间：2020-08-10

答案

1、不正确
∵2sin2x+csc2x=2sin2x+1/sin2x>=2根号2 当sinx=1时取得“=”
tanx+1/tanx>=2 当tanx=1时取得“=”
两式不能同时取得“=”
y＝2sin2x＋csc2x＋tanx＋cotx＝2sin2x＋1/sin2x＋sinx/cosx＋cosx/sinx
＝2sin2x＋1/sin2x＋1/(sincosx)＝2sin2x＋3/sin2x
＝sin2x＋sin2x＋3/(4sin2x)＋3/(4sin2x)＋3/(4sin2x)＋3/(4sin2x)
≥6[sin2x×sin2x×3/(4sin2x)×3/(4sin2x)×3/(4sin2x)×3/(4sin2x)]^(1/6)＝6׳√(3/4)²
∴y的最小值＝3³√36/4
此时sin2x＝3/(4sin2x) sin²2x＝3/4 ∵x∈(0,90°) ∴sin2x＞0 ∴sin2x＝√3/2
∴2x＝60º或120º ∴x＝30º或60º