题目

若m,n为实数,则m^2+(n-1)m+n^2-2n的最小值为多少
如题,我数学不是很好,领悟力较差,所以,希望有比较完整详细的解题过程.

提问时间：2020-08-10

答案

这道题有三种方法解决,然而没有一种容易领悟
最正统解法：（偏微分）
如果知道偏微分,这道题就势如破竹了.
对m,n分别求偏微分,则知
当2m+n-1=0和2n+m-2=0同时成立时有极值,
此时m=0,n=1
观察易知此为最小值,代入有
最小值为-1
几何法：建立方程：m^2+(n-1)m+n^2-2n=k
k在一定范围内取值,这是一个椭圆方程,
当k使这个椭圆抵达极限（再小就无图像）时,
就是所求.计算方法为△法,前辈也有一个计算公式,较复杂打不出.
向量法（不推荐）：
将m^2+(n-1)m+n^2-2n化为两个平方和a^2+b^2,并在找到一个向量(m,n),使(a,b)·(m,n)=P(常数),k即为(a,b)的模的平方,当(a,b)‖(m,n)时,(a,b)的模最小.不推荐的原因是凑平方太困难,如果题目是给你平方和,此方法优先.