题目

一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求

（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的内切球的体积．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形CAB内接
于圆O，而圆O₁内切于△CAB，设圆O的半径为R，
由题意，得

4

3

πR3=972π，
∴R³=729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
连接AE，∵CE是直径，∴CA⊥AE，CA²=CD•CE=18×16=288，
∴CA=12

2

，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD²=CD•DE=16×2=32，∴AD=4

2

，（7分）
∴S_侧=πrl=π×4

2

×12

2

=96π；（8分）
（2）设内切圆O₁的半径为r
∵△ABC的周长为2(12

2

+4

2

)=32

2

，
∴

1

2

r×32

2

=

1

2

×8

2

×16，∴r=4；（10分）
∴圆锥的内切球O₁的体积V_球=

4

3

πr3=

256

3

π．（12分）

（1）作轴截面，则等腰三角形CAB内接于圆O，而圆O₁内切于△CAB，设圆O的半径为R，利用已知条件求出R，利用射影定理求出AC，然后求出AD，即可求出圆锥的侧面积；
（2）设内切圆O₁的半径为r，利用三角形ABC的面积公式，求出内切球的半径，即可求圆锥的内切球的体积．

本题考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

考点点评：本题是基础题，考查球的圆锥，以及圆锥的内接球，轴截面图形的充分利用，是解题的依据，考查直角三角形的应用，三角形的面积的求法，综合应用知识的能力，是解好题目的关键．