题目

已知二次函数 f(x)=ax平方+bx满足：① f(1-x)=f(1+x)②方程f(x)=x 有两相等实根.（1）求 f(x)
（2）是否存在实数m,n(m

提问时间：2020-08-10

答案

（1）
f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)=ax^2-(2a+b)x+(a+b)
f(1+x)=a(1+x)^2+b(1+x)=ax^2+(2a+b)x+(a+b)
∵f(1-x)=f(1+x)
∴2a+b=0
∵f(x)=x,即ax^2+(b-1)x=0,有两个相等的实根
∴b-1=0
∴a=-1/2,b=1
∴f(x)=-1/2x^2+x
（2）
f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
情况1：n≤1
f(x)在[m,n]上递增
即：f(m)=-1/2m^2+m=3m
　　f(n)=-1/2n^2+n=3n
解得：m=-4,n=0
情况2：n>1且m1的前提矛盾
情况3：m≥1
f(x)在[m,n]上递减
即：f(m)=-1/2m^2+m=3n
　　f(n)=-1/2n^2+n=3m
解得：m=n=0,与m≥1的前提矛盾
所以存在实数m、n,m=-4,n=0