题目

求1，3a，5a²，7a³，…（2n-1）a^n-1的前n项和．

提问时间：2020-08-10

答案

当a=1时，数列变为1，3，5，7，…，（2n-1），则S_n=

n[1+2(n−1)]

2

=n²．
当a≠1时，有，
S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1，①
aS_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ．②
①-②得S_n-aS_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ，
（1-a）S_n=1-（2n-1）aⁿ+2（a+a²+a³+a⁴+…+a^n-1）
=1-（2n-1）aⁿ+2•

a(1−an−1)

1−a

=1-（2n-1）aⁿ+

2(1−an)

1−a

．
又1-a≠0，
∴S_n=

1−(2n−1)an

1−a

+

2(a−an)

(1−a)2

．
综上，S_n=

n2，a＝1 1−(2n−1)an 1−a + 2(a−an) (1−a)2 ，a≠1

．

当a=1时，数列变为1，3，5，7，…，（2n-1），Sn=n[1+2(n−1)]2=n2．当a≠1时，Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1，利用错位相减法能求出结果．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想和错位相减法的合理运用．