题目

如图，M，N，K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．

（1）求证：AN∥平面A₁MK；
（2）求证：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

提问时间：2020-08-10

答案

证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C₁D₁、CD的中点，所以KN平行且等于AA_1，
AA₁KN为平行四边形⇒AN∥A₁K，而A₁K⊂平面A₁MK，AN⊄平面A₁MK，从而AN∥平面A₁MK．
（2）连接BC₁，由于K、M为AB、C₁D₁的中点，所以KC₁与MB平行且相等，
从而KC₁MB为平行四边形，所以MK∥BC₁，而BC₁⊥B₁C，BC₁⊥A₁B₁，从而
BC₁⊥平面A₁B₁C，所以：

BC1⊥面A1B1C BC1∥MK

⇒MK⊥面A₁B₁C⇒面A₁B₁C⊥面A₁MK．

对于（1），要证明AN∥平面A₁MK，只需证明AN平行于平面A₁MK内的一条直线，容易证明AN∥A₁K，从而得到证明；
对于（2），要证明平面A₁B₁C⊥平面A₁MK，只需证明平面A₁MK内的直线MK垂直于平面A₁B₁C即可，而BC₁∥MK容易证明，
从而问题得以解决．

本题考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的转化思想的应用，
即：将线面平行转化为线线平行，将面面垂直转化为线面垂直．