题目

设c≠0,关于x的一元二次方程x²+ax+bc=0和x²+bx+ca=0有一个公共根,求证这个两个方程的其它二根为方程x²+cx+ab=0的根

提问时间：2020-08-10

答案

两方程相减,可得公共根为 x=c ,
代入可得 c^2+ac+bc=0 ,由于 c 不为 0 ,
因此两边同除以 c 得 a+b+c=0 .
设非公共根为 x1 和 x2 ,
则 x1+ c = -a ,x2+c= -b ,
因此可得 x1+x2= -a-b-2c= -c ,（1）
又 x1*c=bc ,x2*c=ca ,
所以 x1*x2=(bc)(ca)/c^2=ab ,（2）
由（1）（2）可得,x1、x2 是方程 x^2+cx+ab=0 的两个根 .