题目

已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A,P满足
AP
=-2
FA
．当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在,请说明理由．

提问时间：2020-08-10

答案

抛物线C：y^2=4x 的焦点为F(1,0),
设点A(m,n),P(x,y),由向量AP=-2FA,得
(x-m,y-n)=-2(m-1,n),
∴x-m=-2(m-1),y-n=-2n,
∴m=2-x,n=-y.
点A在抛物线C上,
∴(-y)^2=4(2-x),即y^2=-4(x-2),为动点P的轨迹方程.
（2）设Q(q,0),则Q关于直线y=2x的对称点R(4t^2,4t)满足
QR的斜率=4t/(4t^2-q)=-1/2,8t=q-4t^2,①
QR的中点((q+4t^2)/2,2t)在直线y=2x上,即2t=q+4t^2,②
②-①,-6t=8t^2,t=0或-3/4,
代入①,q=0（舍）,或-15/4.
∴Q(-15/4,0).