题目
如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
提问时间：2020-08-10
答案
如图，点A，B在抛物线y2=4px上，
设A(
，yA)，B(
，yB)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB．
∴kOA＝
＝
，kOB＝
由OA⊥AB，得kOA•kOB＝
＝−1①
依点A在AB上，得直线AB方程
(yA+yB)(y−yA)＝4p(x−
)②
由OM⊥AB，得直线OM方程y＝
x③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以−
，
并利用③式整理得
y2A+yyA−(x2+y2)＝0④
由③、④两式得
−
yAyB−(x2+y2)＝0
由①式知，yAyB=-16p2
∴x2+y2-4px=0
因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
设A(
| y2A |
| 4p |
| y2B |
| 4p |
∴kOA＝
| yA | ||
|
| 4p |
| yA |
| 4p |
| yB |
由OA⊥AB，得kOA•kOB＝
| 16p2 |
| yAyB |
依点A在AB上，得直线AB方程
(yA+yB)(y−yA)＝4p(x−
| y2A |
| 4p |
由OM⊥AB，得直线OM方程y＝
| yA+yB |
| −4p |
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以−
| x |
| 4p |
并利用③式整理得
| x |
| 4p |
由③、④两式得
−
| x |
| 4p |
由①式知，yAyB=-16p2
∴x2+y2-4px=0
因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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