题目

已知2次函数y=x的平方（m平方+4）x-2m的平方-12.
（1）证明：无论m取何实数,2次函数的图像与x轴恒有俩个交点,切一个焦点是（-2,0）；
（2）m为何值时,俩交点之间的距离为12；
（3)m为何值是,俩交点之间的距离最小

提问时间：2020-08-10

答案

已知二次函数y=x²+（m²+4）x-2m²-12.
（1）证明：无论m取何实数,二次函数的图像与x轴恒有俩个交点,且一个交点
是（2,0）；【原题有错!不是(-2,0),应是(2,0)】
（2）m为何值时,俩交点之间的距离为12；
（3)m为何值是,俩交点之间的距离最小
(1)由于判别式△=[-(m²+4)]²-4(-2m²-12)=m⁴+16m²+64=(m+8)²>0对任何m都
成立,故其图像与x轴总有两个交点.且当x=2时,y(2)=4+2(m²+4)-2m²-12=0,故必有
一交点(2,0).
(2).设两交点为A(x₁,0),B(2,0)
则│AB│=│x₁-2│=12,故x₁=14或-10.
当x₁=14时,y(14)=14²+14(m²+4)-2m²-12=12m²+240=0(无解,故m≠14)
当x₁=-10时,y(-10)=(-10)²-10(m²+4)-2m²-12=-12m²+48=0,m²=4,故得m=±2.
(3).│AB│=│x₁-2│=√[(x₁-2)²]=√[(x₁+2)²-8x₁](下面用韦达定理)
=√{[-(m²+4)]²-4(-2m²-12)}=√(m⁴+16m²+64)≥8,当m=0时等号成立.
即当m=0时,两交点间的距离最小,最小值为8.