题目

在平面中给出了n个点.这些点任三点不共线,并且每两个点之间都有一条线相连,求三角形的数目.

提问时间：2020-08-10

答案

点,3,4,5.n
线,3,6,10.n(n-1)/2
三角形,1,4,10.n(n-1)（n-2)/6
解释起来比较麻烦,让我想想
有n个点,
那么从一个点出发,和n-1个点都有连线,那么共有n(n-1)条,但是因为都重复了1次,所以除以2.
比如,三个点ABC,
A和BC有2条连线,B和AC有2条连线,C和AB有2条连线.就有6条,但是因为都重复过一次.所以除以2,结果是3.
然后看三角形.
平面上有n(n-1)/2条线,从每个点出发,和其余点有n-1条线,那么就形成了n-2个三角形.(其实从图形上来说,因为2点共线的关系,每个角的两条边上都有一个点.把这两个点连接起来,就形成了一个三角形.)
譬如,平面上有4个点,A点和其余三点形成线AB、AC、AD三条线,再以AB为公共边,同时形成了∠BAC,∠DAB两个角.BC、DB分别连接起来,就形成了△BAC,△DAB两个.
所以,
现在综合一下,有n(n-1)/2条线,每条线做为公共边,又可形成n-2个三角形.
那么总共就有n(n-1)（n-2)/2个三角形.
而现在,因为三角形有三条边,根据上面的推算,总共每3次是一样的.
所以n(n-1)（n-2)/2还要除以3.
结果是n(n-1)（n-2)/6