题目

当x∈(0,1)时,不等式x²提问时间：2020-08-10

答案

x²<loga(x+1)等价于loga（a^x²)<loga(x+1)  =>0<a<1时有：a^x²>x+1；当a>1时有：a^x²<x+1

当0<a<1时,a^x²>x+1  =>Ln（a^x²)>Ln(x+1)  =>  x²Lna>Ln(x+1),=>Lna>Ln(x+1)/x²;
令f(x)=Ln(x+1)/x²;,求导得导函数为：[x-2(x+1)Ln(x+1)]/[(x+1)x^3],在x∈(0,1)处,分母大于0,对分子求导得：-1-2Ln(x+1)小于0,分子为递减函数.将0代入分子求得0,则在x∈(0,1)处,分子均小于0,所以f(x)为减函数.f(x)最大值为x趋于0时的值,为无穷大,则a不能满足Lna>Ln(x+1)/x²,此种情况是不可能的.

当a>1时有：a^x²<x+1,类似1.有：Lna<Ln(x+1)/x²,仍令f(x)=Ln(x+1)/x²,此时应求出f(x）的小值.f(x）为减函数,带入x=1时有最小值：Ln2.但x取不到1,则f(x)=Ln(x+1)/x²>Ln2,
故Lna<=Ln2  =>a<=2

所以a的取值范围为：  1<a<=2