题目

不等式数学证明题
证明：对于任意的正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3都成立

提问时间：2020-08-10

答案

证明：令f(x)=ln(1+x)-x²+x³,x∈(0,1],则
f'(x)=1/(1+x)-2x+3x²=[(1-x)²+3x³]/(1+x)>0,
所以,f(x)在(0,1]上单调递增,
因此,f(x)>f(0)=0,
即 ln(1+x)>x²-x³,x∈(0,1]
特别地,取x=1/n,即得
ln(1+1/n)>1/n²-1/n³