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题目
(1)若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,求k的取值范围.
(2)已知方程x2+(m-2)x+2m-1=0有且只有一个实根在(0,1)内,求m的取值范围.

提问时间:2020-08-10

答案
(1)令f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2
∵方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内
∴f(x)的图象如下:
作业帮
f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
k2-k-2>0
k2-2k-8<
k2-3k>0
0

解得-2<k<-1或3<k<4
(2)令g(x)=x2+(m-2)x+2m-1
∵方程x2+(m-2)x+2m-1=0有且只有一个实根在(0,1)内
∴g(x)的图象如下:
作业帮
(2m-1)(3m-2)<0或
△=0
0<
2-m
2
<1

解得
1
2
<m<
2
3
或m=6-2
7
(1)设出方程对应的函数,据方程的根的分布画出函数的图象,结合图象知函数在x=0时为正,x=1时为负,x=2时为正.
(2)设出方程对应的函数,据方程的根的分布画出函数的图象,结合图象知函数在x=0及x=1处的函数值异号或判别式为0且对称轴在(0,1)内.

一元二次方程的根的分布与系数的关系.

本题考查解二次方程实根分布的方法:画出对应函数的图象,结合图象写出系数满足的条件.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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