题目

下图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．

（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=

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提问时间：2020-08-10

答案

（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解之得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；（4分）
（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB＝

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S△MAB，
设P（x，y），
则S△PAB＝

1

2

|AB|×|y|＝2|y|，
又∵S△MAB＝

1

2

|AB|×|−4|＝8，
∴2|y|＝

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×8，即y＝±5．
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=5．
当y=5时，x=-2或x=4．
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
（3）如图，当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3，
由图可知符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点．