题目

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2．

提问时间：2020-08-10

答案

（Ⅰ）在f（

x

y

）=f（x）-f（y）中，
令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0．
（Ⅱ）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（

1

3

）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即：f（

x+3

2

）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

x+3 2 ＞0 x+3 2 ＜6

．解得-3＜x＜9．
故不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2的解集为（-3，9）．

（Ⅰ）在f（xy）=f（x）-f（y）中，令x=y=1，能求出f（1）．（Ⅱ）由f（6）=1，知f（x+3）-f（13）＜2=f（6）+f（6），故f（x+32）＜f（6），再由f（x）是（0，+∞）上的增函数，能求出不等式f（x+3）-f（13）＜2的解集．

本题考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查抽象函数的函数值的解法，考查不等式的解法．解题时要认真审题，注意抽象函数的性质的灵活运用．