题目

已知直线L过点P（3,2）,且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求|PA|*|PB|取最小值时直线L的方程.
两绝对值之间的是乘

提问时间：2020-08-10

答案

设直线的斜率为k,因为直线与x轴y轴正半轴分别相交,所以k<0
因为经过点P(3,2),
则直线I的方程为I:y-2=k(x-3)
整理得：I：kx-y+2-3k=0
当x=0时,y=2-3k>0
当y=0时,x=(3k-2)/k>0
|PB|=|√3^2+(2-3k-2)^2|=|√9+9k^2|=3|√1+k^2|
|PA|=|√[(3k-2)/k-3]^2+2^2|=|√4/k^2+4|=2|√(1+k^2)/k^2|
|PA|×|PB|=3|√1+k^2|×2|√(1+k^2)/k^2|
=6|√2+K^2+1/K^2|
≥6|√2+2|
=12
当且仅当k^2=1/k^2时,取最小值
即：k=-1
所以直线I的方程为：
I：-x-y+2+3=0
整理得
x+y-5=0