题目

双曲线的方程是x ²/4-y ²=1 直线l的倾斜角为π/4,被双曲线截出的弦长为8/3,求直线l的方程 过
双曲线的方程是x ²/4-y ²=1
直线l的倾斜角为π/4,被双曲线截出的弦长为8/3,求直线l的方程
过点P(3,1)作直线l,使它截出的弦长恰好被点P平分,求直线l'的方程

提问时间：2020-08-10

答案

（1）l的方程为 y=x+5或y=x-5
（2）l'的方程为3x-4y-5=0
（1）设l的方程y=x=m ①
把 ①代入双曲线方程,整理得3x^2=8mx=4(m^2=1)=0
在Δ=（8m）^2-48(m^2=1)≥0即m^2≥3 ②的情况下,设两实根为x1 、x2,
则 x1+x2=-8m/3 x1x2=4(m^2+1)/3
则AB=(4√m^2-3)√2/3=(8√11)/3 m=5或-5
∴ .它满足条件 ②
∴所求l的方程为 y=x+5或y=x-5
解（2）设l'与双曲线的交点为A'(x1,y1)B'(x2,y2)要使P(3,1)为A'B'的中点,应使
x1^2-4y1^2-4=0 ①
x2^2-4y2^2-4=0 ②
x1+x2/2=3 ③
y1+y2/2=1 ④
解得方程为 3（x1-x2）-4(y1-y2)=0 由x1≠x2 得A'B'的斜率为3/4
所以直线l’方程为：3x-4y-5=0
(将直线方程带入双曲线方程检验有两个实根)