题目

(x^1/2-1/2x^1/3)^10的展开式中,系数最大项和系数绝对值最大项
知道是用T（r+1）的系数比T(r+2)和T(r)的系数大列方程组求解第一问,可是为什么算不出来?最好有过程,我知道在网上打这些符号挺麻烦的,谢谢了

提问时间：2020-08-10

答案

由题意得二项展开式的通项为：
T(r+1)=C(10,r)*(√x)^(10-r)*{-1/[2x^(1/3)]}^r
=(-1/2)^r *C(10,r)*x^(5-5r/6)
则展开式中的奇数项系数均为正数,而偶数项的系数均为负数,
所以要求系数最大项,只需考察各奇数项系数的大小
设第2m+1项为系数最大项,则有
T(2m+1)的系数大于(等于)T(2m+3)的系数且T(2m+1)的系数大于(等于)T(2m-1)的系数
即(-1/2)^(2m) *C(10,2m)≥(-1/2)^(2m+2) *C(10,2m+2)
且(-1/2)^(2m) *C(10,2m)≥(-1/2)^(2m-2) *C(10,2m-2)
化简整理得：4*C(10,2m)≥C(10,2m+2)且C(10,2m)≥4*C(10,2m－2)
即4*10!/[(10-2m)!*(2m)!]≥10!/[(10-2m-2)!*(2m+2)!]
且10!/[(10-2m)!*(2m)!]≥4*10!/[(10-2m+2)!*(2m-2)!]
化简得6m²+31m-41≥0且6m²+19m-66≤0 （*）
因为0≤2m≤10即0≤m≤5且m∈Z
所以只有当m=2时满足不等式组（*）
即T(2m+1)=T(5)第5项的系数最大,其系数为：
(-1/2)^4 *C(10,4)＝105/2