题目

根据条件,求复数z在复平面内的对应点轨迹的普通方程(1)z^2+9/z^2属于R(2)z/(z-1)为纯虚数

提问时间：2020-08-10

答案

1）令z=x+iy, 则
z^2+9/z^2=（x+iy)^2+9/(x+iy)^2为实数
=x^2-y^2+2ixy+9(x-iy)^2/(x^2+y^2)^2
=x^2-y^2+2ixy+9(x^2-y^2-2ixy)/(x^2+y^2)^2
因此虚部=0
即2xy-18xy/(x^2+y^2)^2=0
xy[(x^2+y^2)^2-9]=0
所以x=0或y=0,或x^2+y^2=3
轨迹为x,y轴（除去原点）及圆x^2+y^2=3

2) 令z=x+iy
z/(z-1)=(x+iy)/(x-1+iy)=(x+iy)(x-1-iy)/[(x-1)^2+y^2]
=[x(x-1)+y-iy]/[(x-1)^2+y^2]
为纯虚数,则有x(x-1)+y=0, 且y≠0
即y=x-x^2, 且y≠0, （即x≠0,1)
这是抛物线, 只是除去其中与轴的2个交点(0,0),(1,0)