题目

函数的正周期求法
例如已知f(x-4)=-f(x),怎么知道它的最小正周期为8.通俗点.最好把这考点的相关知识都说一下.
定义在R上奇函数，满足f(x-4)=-f(x)，在区间[0,2]上增，若方程f(x)=m (m>0)在区间[-8,8]上有4个不同的根，x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=?

提问时间：2020-08-09

答案

不好意思,周期通过f(x-4)=-f(x)就能求出来,但其它的得这么来：
（1）由f(x-4)=-f(x),两边用x+4代,得f(x)=-f(x+4),得到f(x-4)=f(x+4),两边再用x+4代,得到f(x)=f(x+8),立马看出周期为8
（2)由f(x-4)=-f(x)且f(x)是奇函数,可知f(x-4)=f（-x),两边用x+2代,得f(x-2)=(-x-2),说明函数关于x=-2对称
于是根据函数周期为8、奇函数、关于x=-2对称,结合在区间[0,2]上是增函数,画出函数的大体图象（具体步骤是,先画出【0,2】上的图象,再根据是奇函数,画出【-2,0】的图象,再根据关于x=-2对称,由【-2,2】画出【-6,-2】的图象,再根据奇函数,画出【2,6】的图象,再根据周期性,由【-2,0】画出【6,8】的图象,再根据奇函数,画出【-6,-8】的图象）
根据图象,容易判断x1、x2、x3、x4中有两对关于x=-2对称,所以x1+x2+x3+x4=-8