题目

a>0,b>0,ab=a+b+3,求ab最小值

提问时间：2020-08-09

答案

ab-a-b=3
(a-1)(b-1)
=ab-a-b+1
=4
ab=(a-1)+(b-1)+5≥2√［（a-1)(b-1)］+5
因为（a-1)(b-1)=4
当且仅当a-1=b-1=2时
有最小值4+5=9
参考:
若a,b为正实数,满足ab=a+b+3,求ab的范围.
、∵正数a,b
∴a+b≥2√ab∵ab=a+b+3
∴ab≥2√ab+3
解关于√ab的不等式得√ab≥3
∴ab≥9
同样用均值不等式可得ab≤（a+b)^2/4
a+b+3≤（a+b)^2/4解关于(a+b)的不等式得a+b≥6,即a+b的最小值是6.
参考:
∵a>0,b>0,∴ab=a+b+3>3.
令ab=u,则b=u/a,代入ab=a+b+3,得：
u=a+u/a+3=(a²+3a+u)/a
故a²+(3-u)a+u=0
由于a为实数,故其判别式：
△=（3-u）²-4u=u²-10u+9=(u-9)(u-1)≥0
即得u≥9或u≤1(舍去,因为已知u>3)
当u=ab=9时,a+b=6,且a=b=3.
即ab的取值范围为[9,+∞）.
a+b的取值范围[6,+∞）.