题目

椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F₁、F₂组成的三角形的周长为 4+2

3

且∠F₁BF₂=

2π

3

，则椭圆的方程是______．

提问时间：2020-08-09

答案

设长轴为2a，焦距为2c，
则在△F₂OB中，由∠F₂BO=

π

3

得：c=

3

2

a，
所以△F₂OF₁的周长为：2a+2c=4+2

3

，
∴a=2，c=

3

，∴b²=1
则椭圆的方程是

x2

4

+y2=1或x2+

y2

4

=1．
故答案为：

x2

4

+y2=1或x2+

y2

4

=1．

先结合椭圆图形，通过直角三角形△F₂OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．