题目

已知函数f(x)＝

3

sinxcosx−cos2x−

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

提问时间：2020-08-08

答案

（1）f(x)＝

3

2

sin2x−

1+cos2x

2

−

1

2

＝sin(2x−

π

6

)−1…．（3分）
∵−1≤sin(2x−

π

6

)≤1，∴−2≤sin(2x−

π

6

)−1≤0，∴f（x）的最大值为0，
最小正周期是T＝

2π

2

＝π…（6分）
（2）由f(C)＝sin(2C−

π

6

)−1＝0，可得sin(2C−

π

6

)＝1
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴−

π

6

＜2C−

π

6

＜

11

6

π
∴2C−

π

6

＝

π

2

，∴C＝

π

3

∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得

a

b

＝

1

2

①…（9分）
由余弦定理得c2＝a2+b2−2abcos

π

3

∵c=3
∴9=a²+b²-ab②
由①②解得a＝

3

，b＝2

3

…（12分）

（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．

本题考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．