题目

证明：

2(cosα−sinα)

1+sinα+cosα

＝

cosα

1+sinα

−

sinα

1+cosα

提问时间：2020-08-08

答案

证法一：右边=

cosα+cos2α−sinα−sin2α

(1+sinα)(1+cosα)

=

(cosα−sinα)(1+cosα+sinα)

1+sinα•cosα+sinα+cosα

=

2(cosα−sinα)(1+cosα+sinα)

2(1+sinα+cosα+sinαcosα)

=

2(cosα−sinα)(1+cosα+sinα)

1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα

=

2(cosα−sinα)

(1+sinα+cosα)

＝左边
证法二：要证等式，即为

2(cosα−sinα)

1+sinα+cosα

＝

(cosα−sinα)(1+sinα+cosα)

(1+sinα)(1+cosα)

只要证2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）²
即证：2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin²α+cos²α+2sinα+2cosα+2sinαcosα，
即1=sin²α+cos²α，显然成立，
故原式得证．