题目
定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则( )
A. f(3)<f(
)<f(2)
B. f(2)<f(3)<f(
)
C. f(3)<f(2)<f(
)
D. f(
)<f(2)<f(3)
A. f(3)<f(
2 |
B. f(2)<f(3)<f(
2 |
C. f(3)<f(2)<f(
2 |
D. f(
2 |
提问时间:2020-08-08
答案
因为f(x+1)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x).
所以f(x)是以2为周期的函数.
又f(x)为偶函数,且在[-1,0]上递增,
所以f(x)在[0,1]上递减,
又2为周期,所以f(x)在[1,2]上递增,在[2,3]上递减,
故f(2)最大,
又f(x)关于x=2对称,且
离2近,所以f(
)>f(3),
故选A.
所以f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x).
所以f(x)是以2为周期的函数.
又f(x)为偶函数,且在[-1,0]上递增,
所以f(x)在[0,1]上递减,
又2为周期,所以f(x)在[1,2]上递增,在[2,3]上递减,
故f(2)最大,
又f(x)关于x=2对称,且
2 |
2 |
故选A.
由f(x+1)=-f(x),可推出其周期为2;由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反及周期为2可得f(x)在[1,2]、[2,3]上的单调性,
根据单调性及对称性即可作出判断.
根据单调性及对称性即可作出判断.
奇偶性与单调性的综合.
本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性及其应用,考查学生运用所学知识灵活解决问题的能力.
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