题目

已知二次函数y=x²-2x-1的图像的顶点为A
二次函数y=ax²+bx的图像与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图像的对称轴上.
（1）求点A与点C的坐标.
（2）当四边形OACB为菱形时,求函数y=ax²+bx的关系.

提问时间：2020-08-08

答案

函数y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2.它的顶点坐标是A（1,-2）对称轴是直线x=1.二次函数y=ax^2+bx=a(x+b/2a)^2-(b^2)/4a.所以它的对称轴是直线x=-b/2a.顶点坐标是B（-b/2a,-b^2/4a).又它与x轴的交点是O（0,0）和C（-b/a,0).（y轴的方程是y=0,与方程y=ax^2+bx联立求方程组的解即可得到）.二次函数y=x^2-2x-1=（x-1)^2-2的对称轴是直线x=1.点B在直线x=1上,所以可设点B的坐标是（1,y).当四边形是菱形时,点A和点B关于x轴对称,点C和点O关于直线x=1对称,所以点C（2,0）.点B是（1,2）.于是又有-b^2/4a=2.所以a=-b^2/2小于0,此时函数函数y=ax^2-2ax=a(x-1)^2-a的图像开口向下.所以与函数y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2的图像相交.