题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

>0．
（1）判断f （x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）<f（

1

x−1

）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）任取-1≤x₁<x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)
∵-1≤x₁<x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

>0，又x₁-x₂<0，
∴f（x₁）-f（x₂）<0，即f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
故有

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 < 1 x-1

由此解得{x|-

3

2

≤x<-1}
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
即g（a）=t²-2at对a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故

t>0 g(1)≥0

或

t≤0 g(-1)≥0

解得：t≤-2或t=0或t≥2．

（1）由单调性定义判断和证明；
（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[-1，1]是增函数，再利用定义的逆用求解；
（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．