题目

如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．（3分）
在△ACE和△BCD中

AC＝BC ∠ACE＝∠BCD EC＝DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）
（2）又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形（8分）
∴DE=

AE2+AD2

=

122+52

=13．（10分）

（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．

本题考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题第一问利用边角边定理证明三角形全等，第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．