题目

已知函数f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+a+b的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．求常数a，b的值．

提问时间：2020-08-07

答案

∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
①当a＞0时，-2asin（2x+

π

6

）∈[-2a，a]，得-2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[b-a，2a+b]
∴

b−a＝−5 2a+b＝4

，解之得a=3，b=-2；
②当a＜0时，-2asin（2x+

π

6

）∈[a，-2a]，得-2asin（2x+

π

6

）+a+b∈[2a+b，b-a]
∴

2a+b＝−5 b−a＝4

，解之得a=-3，b=1
综上所述，可得a=3，b=-2或a=-3，b=1．

根据函数的定义域，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．因此分a的正负讨论，结合函数的值域建立关于a、b的不等式组，解之即可得到a、b的值，最后综上所述可得答案．

本题考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题给出三角函数在给出区间上的值域，求参数a、b的值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．