题目

高一数学：定义在实数集上的.（紧急!）
1.定义在实数集上的函数F(x),对任意X,y属于R,有f（x+y)+f（x-y)=2f(x)f（y),且f(0)不等于0,1.求证f(0)=1 2.求证y=f（x)是偶函数
2.若二次函数f(x）=x2-(a-1)x+5在区间（1/2,1）上是增函数,则f(2)的取值范围是（ ）.
3.函数f(x）=ax+b/1+x2是定义在（-1,1）上的奇函数,且f（1/2）=2/5 .1. 确定函数f(x)的解析式, 2.用定义证明f(x)在(-1.1)上是增函数： 3.解不等式f(t-1)+f(t)

提问时间：2020-08-07

答案

1题.证明：1^函数F（x)的定义域为全体实数,故令x=y=0（注意给未知数赋上定义域内
的值这点很重要,高中的抽象函数大部分都要用这种思想求证,例如令：x=1/x,这要灵
活应用）,代入f（x+y)+f（x-y)=2f(x)f（y),有2f(0)=2f(0)^2,又有条件f(0)≠0,故
f(0)=1;
2^令x=0,y为任意实数,代入f（x+y)+f（x-y)=2f(x)f（y),的f(y)+f(-y)=2f(0)f
(y),又f(0)=1(第一步得证）,故f(y)=f(-y),由偶函数定义知y=f（x)是偶函数.
2题.函数f(x）=x2-(a-1)x+5对称轴为x=(a-1)/2,且开口向上,故有在实数范围内有最小值点
又f(x）=x2-(a-1)x+5在区间（1/2,1）上是增函数,故(a-1)/2>1/2,
f(x）=x2-(a-1)x+5在区间（1/2,1）上是增函数,故f(1)≥f(1/2)得2