题目

高中数学选修2-1椭圆
已知F₁,F₂分别是椭圆E：x²/5+y2＝1的左、右焦点F₁,F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b．当ab最大时,求直线l的方程．

提问时间：2020-08-07

答案

(1) 分别作出F1 F2关于直线的对称点 (2,4) (2,0)
得出C(2,2) 半径 2 方程(x-2)^2+(y-2)^2=4
(2) 设直线y=kx-2k
运用点到直线距离公式算出b=4/根号(1+k^2)
联立直线与椭圆方程 得出(k^2+5)y^2+4ky-1=0
设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1) (x2,y2)
利用韦达定理 得出 y1+y2=-4k/(k^2+5) y1*y2=-1/(k^2+5)
a=根号((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
=根号((1+k^2)(y1-y2)^2)
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1*y2
=20(k^2+1)/(k^2+5)^2
所以a=2根号5(k^2+1)/(k^2+5)
ab=8根号5*根号(k^2+1)/(k^2+5)
=8根号5*根号(k^2+1)/((k^2+1)+4)
上下同除根号(k^2+1) 得到=8根号5/(根号(k^2+1)+4/根号(k^2+1))