题目

y=sinx/根号(5+4cosx)的值域
不要网上抄的那个

提问时间：2020-08-07

答案

y^2=sin^2(x)/(5+4cosx),
令t=(5+4cosx),
∵cosx∈[-1,1],∴t∈[1,9]
则cosx=(t-5)/4,
sin^2(x)=1- cos^2(x)=1-(t-5)^2/16,
y^2=sin^2(x)/(5+4cosx)=[ 1-(t-5)^2/16]/t,
16y^2=[ 16-(t-5)^2]/t,
16y^2=(-t^2+10t-9)/t,
16y^2=10-(t+9/t))
因为函数t+9/t的图像是个“√”,它在（1,3）上递减,（3,+∞）上递增,
∴t∈[1,9]时,函数t+9/t的最小值是6（t=3时取到）,最大值是10（t=1或9时取到）
从而可知10-(t+9/t))∈[0,4]
即16y^2∈[0,4]
y∈[-1/2,1/2].