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题目
已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”
(1)若命题p为真,求实数a的取值范围;
(2)若命题q为真,求实数a的取值范围;
(3)¬p是q的什么条件?请说明理由.

提问时间:2020-08-07

答案
(1)若命题p为真,即f(x)的定义域是R,
则(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,…(2分)
则a=-1或
a2−1>0
△=(a+1)2−4(a2−1)<0.
…(3分)
解得a≤-1或a>
5
3

∴实数a的取值范围为(-∞,−1]∪(
5
3
,+∞).…(5分)
(2)若命题q为真,即f(x)的值域是R,
设u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域为A
则A⊇(0,+∞),…(6分)
等价于a=1或
a2−1>0
△=(a+1)2−4(a2−1)≥0.
…(8分)
解得1≤a≤
5
3

∴实数a的取值范围为[1,
5
3
]
.…(10分)
(3)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,
¬p:a∈(−1 , 
5
3
]
;q:a∈[1 , 
5
3
]

(−1,
5
3
]⊃[1,
5
3
]

∴¬p是q的必要而不充分的条件.…(13分)
(1)命题p可转化为恒成立问题,根据类二次函数的性质,可得到a的取值范围;
(2)命题q可转化为真数部分的值域包含(0,+∞),据些构造关于a的不等式组,解可得a的取值范围;
(3)由(1)求出¬p,并比较两个命题对应的参数a的范围之间的包含关系,进而根据“谁小谁充分,谁大谁必要”可得答案.

必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用.

本题是对数函数性质,恒成立问题,充要条件的综合应用,(1)中的转化思想,以及类二次函数的图象及性质中的分类讨论思想,都是高中重点培养的数学思想,(2)的转化比较难理解,可借助二次函数的图象和性质进行分析.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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