题目
设f(x)连续,证明（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
提问时间：2020-08-07
答案
证明：令x=π-t,则x由0到π,t由π到0,dx=-dt
原式记为I
则I=-（积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt
=-(积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt-I
所以2I=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt
即I=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx
原式记为I
则I=-（积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt
=-(积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt-I
所以2I=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt
即I=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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