题目

在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2）（见图1），且|2a+b+1|+

a+2b−4

=0

（1）求a、b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=

1

2

△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，

∠OPD

∠DOE

的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）∵|2a+b+1|+

a+2b−4

=0，
∴

2a+b+1＝0 a+2b−4＝0

，
解得

a＝−2 b＝3

．
故a、b的值分别是-2、3；
（2）①如图1，过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=5，
∵C（-1，2），
∴CT=2，CS=1，
∴△ABC的面积=

1

2

AB•CT=5，
∵△COM的面积=

1

2

△ABC的面积，
∴△COM的面积=

5

2

，即

1

2

OM•CT=

5

2

，
∴OM=2.5．
∴M的坐标为（2.5，0）；
②存在．点M的坐标为（0，5）或（-2.5，0）或（0，-5）；
（3）如图2，

∠OPD

∠DOE

的值不变，理由如下：
∵CD⊥y轴，AB⊥y轴，
∴∠CDO=∠DOB=90°，
∴AB∥CD，
∴∠OPD=∠POB．
∵OF⊥OE，
∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°，
∵OE平分∠AOP，
∴∠POE=∠AOE，
∴∠POF=∠BOF，
∴∠OPD=∠POB=2∠BOF．
∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠BOF，
∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE，
∴

∠OPD

∠DOE

=2．

（1）根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据三角形的面积公式求得OM的长，则M的坐标即可求得；
②根据三角形的面积公式，即可写出M的坐标；
（3）利用∠BOF，根据平行线的性质，以及角平分线的定义表示出∠OPD和∠DOE即可求解．

本题考点：坐标与图形性质；解二元一次方程组；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

考点点评：本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的面积公式，以及角平分线的定义，平行线的性质，求点的坐标问题常用的方法就是转化成求线段的长的问题．