题目

如图，AD为△ABC的中线，DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线，求证：BE+CF＞EF．

提问时间：2020-08-07

答案

证明：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
如图，在AD上截取DN=DB=DC，
∵DE、DF分别为△ADB、△ADC的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△BDE和△NDE中，

BD＝DN ∠1＝∠2 DE＝DE

，
∴△BDE≌△NDE（SAS），
∴BE=NE，
同理，在△CDF和△NDF中，

CD＝DN ∠3＝∠4 DF＝DF

，
∴△CDF≌△NDF（SAS），
∴CF=NF，
在△EFN中，NE+NF＞EF，
∴BE+CF＞EF．

根据中线的定义可得BD=CD，在AD上截取DN=DB=DC，然后利用“边角边”证明△BDE和△NDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=NE，同理证明△CDF和△NDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=NF，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线构造出全等三角形并把BE、CF、EF的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键．