题目

设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(X,Y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
(1)求常数a,b,c
(2)(X,Y)的概率密度
由分布函数性质知：F(+∞,+∞)=a(b+π/2)(c+π/2)=1
F(x,-∞)=a(b+arctanx)(c-π/2)=0
F(-∞,y)=a(b-π/2)(c+arctan2y)=0
从上面第二式得c=π/2,从第三式得b=π/2,再得a=1/π^2..
我不知道题中的π/2哪来的?怎么知道的?算的思路是什么?
（2）F(x,y)=1/π^2(π/2+arctanx)(π/2+arctan2y)
从而概率密度为f(x,y)=2/π^2(1+x^2)(1+4y^2)
结果的算来是求导数吗?

提问时间：2020-08-07

答案

①首先,我们可以认为tan(π/2)=+∞,这是自然的,因此可以说arctan(+∞)=π/2
第一问的π/2就是这么来的,把x、y都带成+∞,然后分布函数的意思就是x