题目

是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n（n+1）^2=（（n+n^2）/12）（bn+c+an^2）对一切正整数n都成立?证明你的结论

提问时间：2020-08-07

答案

证明：
假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组：
①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70
联立①②③,解得：a=3；b=11；c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明：
1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时,等式也成立
因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.
祝你学习天天向上,加油!