题目

：已知△ABC是面积为根号3的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于F,则△AEF的面积是
不做辅助线的,简便一点

提问时间：2020-08-07

答案

已知△ABC为正三角形,△ABC∽△ADE,∴△ADE也为正三角形
由S△ABC=√3=√3/4*AB^2,求得边长AB=2,又AB=2AD,∴AD=1
如图,过A做AG⊥DE于G,则有GE=1/2DE=1/2AD=1/2
又∠BAD=45°,∠BAC=60°,∴∠CAD=15°；
又∠GAD=30°,∴∠GAF=30°-15°=15°,∴GF=AG*tan15°
易求得AG=AD*cos30°=√3/2,tan15°=tan(45°-30°)=2-√3
∴GF=AG*tan15°=(√3/2)*(2-√3)=√3-3/2
∴S△AEF=S△AEG+S△AFG
=1/2*AG*GE+1/2*AG*GF
=1/2*√3/2*(1/2+√3-3/2)
=1/2*√3/2*(√3-1)
=(3-√3)/4