题目

(π-2arctan x)ln x x趋向于无穷的极限 ((1+x)^1/x-e)/x x趋向于0的极限

提问时间：2020-08-07

答案

1、lim[x→+∞] (π-2arctanx)lnx
=lim[x→+∞] (π-2arctanx) / (lnx)^(-1)
洛必达法则
=lim[x→+∞] [-2/(1+x²)] / [-1/(xln²x)]
=lim[x→+∞] 2xln²x/(1+x²)
洛必达法则,（其实如果记住结论：幂函数趋于无穷的速度比对数快,这里就可以直接得出结果）
=lim[x→+∞] (2ln²x+4lnx)/(2x)
洛必达法则
=lim[x→+∞] 2lnx/x+2/x
=lim[x→+∞] (2lnx+2)/x
洛必达法则
=lim[x→+∞] 2/x
=0
2、先计算(1+x)^(1/x)的导数
令y=(1+x)^(1/x),则lny=(1/x)ln(1+x)
两边对x求导：y'/y=(-1/x²)ln(1+x)+(1/x)[1/(1+x)]
=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
则：y'=(1+x)^(1/x)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
对原极限使用洛必达法则,得：
原极限=lim[x→0] (1+x)^(1/x)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=elim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/x²
洛必达法则
=elim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim[x→0] -ln(1+x)/(2x)
=-e/2
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