题目

如图,矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点),点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标为
分别为（-2,2倍根号3）,点E是BC的中点,点H在OA上,且AH=1/2,过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G,现将矩形折叠,使顶点C落在HG上,并与HG上的点D重合,折痕为EF,点F为折痕与y轴的交点
问：(1)求∠CEF的度数和点D的坐标
(2)求折痕EF所在直线的函数表达式
(3)若点P在直线EF上,当△PFD为等腰三角形时,请问满足条件的点P有几个?请求出点P的坐标,

提问时间：2020-08-07

答案

⑴因矩形OABC的OA、OC与坐标轴重合,B点坐标为（-2,2*3^（1/2））
则OA=BC=2,OC=AB=2*3^（1/2）
E是BC中点,则CE=BE=BC/2=1
AH=1/2
HG‖y轴,则BG=AH,
EG=BE-BG=1-1/2=1/2
因△DEF为Rt△CEF折叠而来,所以△DEF为Rt△,且
△DEF≌△CEF
∠DEF=∠CEF,DE=CE=1
在Rt△DEG中,cos∠DEG=EG/DE=(1/2)/1=1/2,则∠DEG=60°
又∠DEF=∠CEF,
∴∠CEF=(180°-∠DEG)/2=(180°-60°)/2=60°
D点横坐标为：1/2-2=-3/2
纵坐标为：2*3^(1/2)-1
即其坐标为（-3/2,2*3^(1/2)-1）
⑵由⑴知∠CEF=60°,即折痕EF与x轴的夹角为：180°-60°=120°
设其直线的函数为：y=kx+b
则 k=tan120°=-3^(1/2)
因直线过E点（-1,2*3^(1/2)）
代入直线方程,2*3^(1/2)= -3^(1/2)*（-1）+b,得b=3^(1/2)
所以直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
⑶由上可知直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
则,F点的坐标为：（0,3^(1/2)）
且∠DFP=30°,DF=CF=2*3^(1/2)- 3^(1/2)= 3^(1/2)
P点在EF上,要使△PFD为等腰三角形,则有（三种情况）：
①P1D=P1F
过P1作P1Q⊥DF于Q,则Q为DF中点
FQ=DF/2=（3^(1/2)）/2,则 P1F=QF/cos∠DFP1=1
所以P1点横坐标为：-P1F*cos60°=-1/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P1F*sin60°=(3*3^(1/2))/2
即P1为（-1/2,(3*3^(1/2))/2）
②DF=P2F
此时P2F=3^(1/2)
所以P2点横坐标为：-P2F*cos60°=-（3^(1/2)）/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P2F*sin60°=(5*3^(1/2))/2
即P3为（-（3^(1/2)）/2,(5*3^(1/2))/2）
③DF=DP3
过D点作DR⊥P3F于R,则R为P3F中点
在Rt△DFR中,FR=DF/cos∠DFP3=2,则FP3=4
所以P3点横坐标为：-P3F*cos60°=-2
纵坐标为：3^(1/2)+ P3F*sin60°=3*3^(1/2)
即P3为（-2,3*3^(1/2)