题目

概率论的问题 联合概率密度
进行打靶,设弹着点A(X,Y)的坐标X和Y相互独立,且都服从N(0,1)分布,规定
点A落在区域D1={(x,y)|x^2+y^2≤1}得2分；
点A落在区域D2={(x,y)|1＜x^2+y^2≤4}得1分；
点A落在区域D3={(x,y)|x^2+y^2＞4}得0分；
以Z记打靶的得分.写出X,Y的联合概率密度,并求Z的分布律.

提问时间：2020-08-07

答案

已知X,Y的概率密度分别是
p(x)=(1/√2π)e^(-x²/2)
p(y)=(1/√2π)e^(-y²/2)
又因为X,Y相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度为
p(x,y)=p(x)p(y)=(1/2π)e^[-(x²+y²)/2]

Z的所有可能取值为0,1,2
P(Z=2)=∫∫D1 p(x,y)dxdy=1-e^(-1/2)
P(Z=1)=∫∫D2 p(x,y)dxdy=e^(-1/2)-e^(-2)
P(Z=0)=∫∫D3 p(x,y)dxdy=e^(-2)
其中D1,D2,D3,就是题目给出的区域,用极坐标计算上面的二重积分!
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