题目

已知函数y=log₂（1-x）的图象上两点B、C的横坐标分别为a-2，a，其中a≤0．又A（a-1，0），求△ABC面积的最小值及相应的a的值．

提问时间：2020-08-07

答案

如图

解法一：
S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'
=

1

2

[log2(3−a)+log2(1−a)]•2−

1

2

log2(3−a)•1−

1

2

log2(1−a)•1
=

1

2

[log2(3−a)+log2(1−a)]
=

1

2

log2(a2−4a+3)
又a≤0，
故当a=0时，(S△ABC)min＝

1

2

log23
解法二：
过A作L平行于y轴交BC于D，由于A是B'C'中点
∴D是BC中点
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB
=

1

2

|AD|•1+

1

2

|AD|•1＝|AD|
∵|AD|＝

yB+yC

2

＝

1

2

[log2(3−a)+log2(1−a)]
=

1

2

log2(a2−4a+3)
又a≤0，
故当a=0时，(S△ABC)min＝

1

2

log23

解法一：S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'，将已知中各点坐标代入，可得△ABC面积的解析式，进而根据对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，得到△ABC面积的最小值及相应的a的值．
解法二：过A作L平行于y轴交BC于D，根据梯形的中位线定理可得，D是BC中点，由S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB=|AD|可得△ABC面积的解析式，进而根据对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，得到△ABC面积的最小值及相应的a的值．

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，复合函数的单调性，其中根据已知求出△ABC面积的解析式，是解答的关键．